Soal Matematika (1)

Pada post kali ini, saya akan membahas bagaimana cara menyelesaikan beberapa persoalan matematika. Semoga bermanfaat!

1. Tunjukkan bahwa bilangan rasional!
2. Selesaikan:
   1. 
   2. 
   3. 
3. Nyatakan apakah fungsi yang diberikan genap atau ganjil atau tidak satupun:
   1. 
   2. 
   3. 
4. Untuk , Tentukan daerah asal dan daerah hasil !
5. Selesaikan soal berikut:
   1. , ,
   2. , ,

Penyelesaian:

1. Untuk menunjukkan suatu bilangan merupakan bilangan rasional maka harus dapat ditunjukkan bahwa bilangan tersebut dapat dinyatakan sebagai bilangan pecahan , dengan dan bilangan bulat, . Permasalahan ini sudah pernah saya bahas di posting sebelumnya di sini. Oleh karena dapat ditunjukkan , maka bilangan rasional.
2. Permasalahan ini adalah permasalahan pertidaksamaan. Kita harus mengingat kembali mengenai garis bilangan dan cara memfaktorkan persamaan kuadarat. Solusi permasa

BILANGAN DESIMAL BERULANG

Unggas adalah binatang yang berkaki dua, berarti ayam adalah unggas, bebek adalah unggas, dan angsa adalah unggas. Namun kebalikannya tidak benar. Tidak tepat jika kita katakan unggas adalah ayam, karena akan mengakibatkan binatang yang berkaki dua lainnya bukan unggas. Analogi yang sama berlaku untuk bilangan rasional. Masih ingat bilangan rasional kan? Kalau lupa, boleh lihat posting sebelumnya mengenai bilangan rasional. Bilangan desimal yang berulang merupakan bilangan rasional. Jangan katakan sebaliknya ya!

Sekarang bagaimana caranya meunjukkan suatu bilangan desimal yang berulang merupakan bilangan rasional? Caranya adalah dengan menyatakan bilangan tersebut dalam bentuk pecahan , dengan dan bilangan bulat, .

Contoh 1: Tunjukkan bilangan rasional!

Penyelesaian: Ambil , maka

Contoh 2: Tunjukkan bilangan rasional!

Penyelesaian:

Contoh 3: Tunjukkan bilangan rasional!

Penyelesaian: Ambil , maka

Definisi Limit

Pada teks matematika, baik buku pelajaran matematika di SMA, buku kalkulus, atau jurnal-jurnal, pasti pernah lihat

Ini dibaca ” limit  untuk mendekati 1 adalah 3. Apa itu limit?

berarti bahwa untuk setiap yang diberikan (betapapun kecilnya), terdapat yang berpadanan sedemikian sehingga asalkan bahwa berlaku .

Bilangan Pi

Saat kita SD, diajarkan bahwa Pi ini adalah panjang keliling lingkaran yang berdiameter 1 satuan. Jadi misalkan kita punya roda yang diameternya 1 meter trus kita ukur kelilingnya dengan cara melekatkan seutas tali pada sekeliling roda tersebut, maka panjang tali yang dibutuhkan adalah sekitar 3.14159 meter. Nilai perbandingan antara keliling dan diameter lingkaran ini selalu konstan untuk setiap lingkaran yaitu 3.14159.

Bilangan Pi

Nilai Pi dengan 100 tempat desimal pertama adalah: 3,1415926535897932384626433832 79502884197169399375 105820974944
592307816406286208998628034825 3421170679. Dari sini dapat dilihat bahwa tidak akan ditemukan nol dalam 31 digit pertama dalam dari pi. Nilai pi di dunia ini sudah diketahui lebih dari 100 tempat desimal pertama. Yasumasa Kanada, seorang profesor di Universitas Tokyo pada 1999 menemukan sebanyak 206.158 billion places. Beberapa tahun sebelummnya, pada tahun 1706, John Machin menghabiskan waktu sekitar 70 jam untuk menghitung 2.037 tempat desimal phi menggunakan ENIAC (Electronic Numeric Integrator and Computer). Seorang Ahli Matematika Jerman, Ludolph van Ceulen, mempublikasikan 20 desimal pertama pada 1596 di buku Van den Circkel (“On the Circle”), kemudian ia menghitung hingga 35 tempat desimal pertama pi.

Pada tahun 1768, Johann Lambert membuktikan nilai Pi adalah sebuah bilangan irasional. Jangan bingung ya, Pi adalah bilangan irasional, sedangkan 22/7 dan 3.14 adalah bilangan rasional. Waktu kita SD, 22/7 dan 3.14 diperkenalkan pada kita sebagai angka yang mendekati pi, hal itu dikarenakan pemikiran anak SD itu dianggap masih sederhana , untuk mempermudah perhitungan, atau karena rata-rata anak SD dalam perhitungannya hanya memerlukan ketelitian sampai dua tempat desimal saja.

Pi, yang disimbolkan dengan abjad Yunani ke-16, , pertama kali digunakan oleh seorang ahli Matematika Inggris bernama William Jones di tahun 1706, baru kemudian menjadi populer setelah diadopsi oleh matematikawan Swiss, Leonhard Euler pada 1737.

Setiap tanggal 14 bulan maret ini selalu diperingati hari nasional bilangan pi bagi kalangan matematikawan di negara AS. Coba tengok gambar berikut, kalau disusun secara simetrik maka angka 3,14 ini kalau dibaca terbalik dapat menunjukkan kata pie. Menarik kan ?

Pi atau Pie?

Ada tulisan yang menarik dari salah satu blog yang pernah saya singgahi beberapa waktu kemarin. Di blog tersebut dijelaskan metode-metode penyelesaian soal-soal matematika dengan cara singkat. Salah satu contohnya:

Gunakan waktu 10 menit untuk menjawab soal berikut tanpa menggunakan alat hitung
Soal-soal :
1). 1 + 3 + 5 + 7 + … + 29 = … .
2). 1 + 3 + 5 + 7 + … + 59 = … .
3.) 1 + 3 + 5 + 7 + … + 79 = … .

kemudian solusi dari soal tersebut adalah dengan cara sbb:

1 = 1²

1 + 3  =  4 = 2²  ——> [ 1/2(1+3) ]²

1 + 3 + 5 = 9 = 3² ——> [ 1/2(1+5) ]²

1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4² ——> [ 1/2(1+7) ]²

dan seterusnya sehingga :

1 + 3 + 5 + 7 + … + 29 = 15² ——> [ 1/2(1+29) ]²

^{1 + 3 + 5 + 7 + … + 59 = 302 ——> [ 1/2(1+59) ]2}

^{1 + 3 + 5 + 7 + … + 79 = 402 ——> [ 1/2(1+79) ]2}

Sebenarnya itu bukanlah hal yang luar biasa. Soal yang disuguhkan adalah salah satu bentuk permasalahan deret aljabar. Masih ingat deret aljabar kan?