Soal Matematika (1)

Pada post kali ini, saya akan membahas bagaimana cara menyelesaikan beberapa persoalan matematika. Semoga bermanfaat!

  1. Tunjukkan bahwa 0.3454545454545454545... bilangan rasional!
  2. Selesaikan:
    1. \large \frac{x^2+x-2}{x^2-6x+5}<0
    2. \large 15x^2-x-2\leqslant 0
    3. \large \left | 3x+1 \right |<2\left | x-6 \right |
  3. Nyatakan apakah fungsi yang diberikan genap atau ganjil atau tidak satupun:
    1. \large g(x)=\frac{x^3}{8x-1}
    2. \large h(x)=\frac{1}{2}\sqrt{x^2+4}
    3. \large h(x)=x^5-x^3
  4. Untuk 1\leqslant x\leqslant 3, Tentukan daerah asal dan daerah hasil f(x)=x^2-6x+5 !
  5. Selesaikan soal berikut:
    1. \large (g^{-1} o f^{-1})(x)=\frac{2x+4}{5}, \large h(x)=2x, \large (fogoh)(x)=...
    2. \large (f^{-1})(x)=5x, \large (g^{-1})(x)=7x+1, \large (fog)(x)=...

Penyelesaian:

  1. Untuk menunjukkan suatu bilangan merupakan bilangan rasional maka harus dapat ditunjukkan bahwa bilangan tersebut dapat dinyatakan sebagai bilangan pecahan m/n, dengan m dan n bilangan bulat, n\neq 0. Permasalahan ini sudah pernah saya bahas di posting sebelumnya di sini. Oleh karena dapat ditunjukkan 0.3454545454545454545...=19/55, maka 0.3454545454545454545... bilangan rasional.
  2. Permasalahan ini adalah permasalahan pertidaksamaan. Kita harus mengingat kembali mengenai garis bilangan dan cara memfaktorkan persamaan kuadarat. Solusi permasa

Sulap adalah Matematika

Beberapa sulap, secara spesifik adalah sulap angka, yang pernah dipertunjukkan oleh para pesulap menggunakan matematika sebagai salah satu triknya. Kalau di Indonesia, salah satunya adalah oleh pesulap Joe Sandy The Master of Number. Mereka sangat pintar meramunya sehingga terlihat bahwa hal tersebut adalah magic atau sihir, dan tidak dapat dijelaskan secara matematis. Padahal beberapa trik hanya menggunakan aljabar matematika yang sangat simple.

Salah satu game sulap angka tersebut bisa kita lihat di sini. Pada awal game tersebut, kita disuruh untuk memilih angka puluhan (terdiri dari 2 digit angka).

sulap angka

sulap angka

Kemudian kita harus menambahkan 2 digit angka tersebut.

sulap angka

sulap angka

Bilangan pertama yang kita pilih, lalu dikurangkan dengan hasil penjumlahan ini.

sulap angka

sulap angka

Jika sudah selesai, kita disuruh mengingat gambar yang sesuai dengan angka yang kita peroleh.

sulap angka

sulap angka

Nah, setelah itu, pesulap akan menebak gambar apa yang kita lihat.

sulap angka

sulap angka

sulap angka

sulap angka

Trik untuk sulap angka ini sangat simpel. Kita disuruh untuk memilih angka puluhan (terdiri dari 2 digit angka) misalkan bilangan itu adalah w dengan w=10x+y. Bilangan x menunjukkan digit pertama dan y menunjukkan digit ke-2. Kemudian kita harus menambahkan 2 digit angka tersebut, disini diperoleh z dengan z=x+y. Bilangan pertama yang kita pilih, lalu dikurangkan dengan hasil penjumlahan ini, disini maksudnya w-z, diperoleh 10x+y-(x+y)=9x. Sudah bisa menebak triknya?

Coba lihat bilangan kelipatan 9. Masih belum tau rahasianya juga? Deretan gambar yang disediakan untuk kita itu bukan gambar random. Namun, untuk setiap angka kelipatan 9 akan diperoleh gambar yang sama. Sehingga pesulap tinggal menyebutkan gambar yang ada disebelah angka-angka kelipatan 9. Is it a nice trick?

 

BILANGAN DESIMAL BERULANG

Unggas adalah binatang yang berkaki dua, berarti ayam adalah unggas, bebek adalah unggas, dan angsa adalah unggas. Namun kebalikannya tidak benar. Tidak tepat jika kita katakan unggas adalah ayam, karena akan mengakibatkan binatang yang berkaki dua lainnya bukan unggas. Analogi yang sama berlaku untuk bilangan rasional. Masih ingat bilangan rasional kan? Kalau lupa, boleh lihat posting sebelumnya mengenai bilangan rasional. Bilangan desimal yang berulang merupakan bilangan rasional. Jangan katakan sebaliknya ya!

Sekarang bagaimana caranya meunjukkan suatu bilangan desimal yang berulang merupakan bilangan rasional? Caranya adalah dengan menyatakan bilangan tersebut dalam bentuk pecahan m/n, dengan m dan n bilangan bulat, n\neq 0.

Contoh 1: Tunjukkan 3.272727... bilangan rasional!

Penyelesaian: Ambil x=3.272727..., maka

100x=327.27272727...

100x-x=327.272727 ...- 3.272727...

99x=324

x=324/99

x= 36/11

Contoh 2: Tunjukkan 0.375000000... bilangan rasional!

Penyelesaian: 0.375000000...=0.375=375/1000=3/8

Contoh 3: Tunjukkan 0.3454545... bilangan rasional!

Penyelesaian: Ambil x=0.3454545..., maka

100x=34.5454545...

100x-x=34.5454545 ...- 0.3454545...

99x=34.2

x=342/990

x= 19/55

Bilangan Pi

Saat kita SD, diajarkan bahwa Pi ini adalah panjang keliling lingkaran yang berdiameter 1 satuan. Jadi misalkan kita punya roda yang diameternya 1 meter trus kita ukur kelilingnya dengan cara melekatkan seutas tali pada sekeliling roda tersebut, maka panjang tali yang dibutuhkan adalah sekitar 3.14159 meter. Nilai perbandingan antara keliling dan diameter lingkaran ini selalu konstan untuk setiap lingkaran yaitu 3.14159.

Pi

Bilangan Pi

Nilai Pi dengan 100 tempat desimal pertama adalah: 3,1415926535897932384626433832 79502884197169399375 105820974944
592307816406286208998628034825 3421170679. Dari sini dapat dilihat bahwa tidak akan ditemukan nol dalam 31 digit pertama dalam dari pi. Nilai pi di dunia ini sudah diketahui lebih dari 100 tempat desimal pertama. Yasumasa Kanada, seorang profesor di Universitas Tokyo pada 1999 menemukan sebanyak 206.158 billion places. Beberapa tahun sebelummnya, pada tahun 1706, John Machin menghabiskan waktu sekitar 70 jam untuk menghitung 2.037 tempat desimal phi menggunakan ENIAC (Electronic Numeric Integrator and Computer). Seorang Ahli Matematika Jerman, Ludolph van Ceulen, mempublikasikan 20 desimal pertama pada 1596 di buku Van den Circkel (“On the Circle”), kemudian ia menghitung hingga 35 tempat desimal pertama pi.

Pada tahun 1768, Johann Lambert membuktikan nilai Pi adalah sebuah bilangan irasional. Jangan bingung ya, Pi adalah bilangan irasional, sedangkan 22/7 dan 3.14 adalah bilangan rasional. Waktu kita SD, 22/7 dan 3.14 diperkenalkan pada kita sebagai angka yang mendekati pi, hal itu dikarenakan pemikiran anak SD itu dianggap masih sederhana , untuk mempermudah perhitungan, atau karena rata-rata anak SD dalam perhitungannya hanya memerlukan ketelitian sampai dua tempat desimal saja.

Pi, yang disimbolkan dengan abjad Yunani ke-16, \large \pi , pertama kali digunakan oleh seorang ahli Matematika Inggris bernama William Jones di tahun 1706, baru kemudian menjadi populer setelah diadopsi oleh matematikawan Swiss, Leonhard Euler pada 1737.

Setiap tanggal 14 bulan maret ini selalu diperingati hari nasional bilangan pi bagi kalangan matematikawan di negara AS. Coba tengok gambar berikut, kalau disusun secara simetrik maka angka 3,14 ini kalau dibaca terbalik dapat menunjukkan kata pie. Menarik kan ?

Pi

Pi atau Pie?